Soal dan Pembahasan OSN 2018 Tingkat Kabupaten Matematika SMP (Kode: OSN.KK.M.R3)

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.

$(1).$ Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah $t,\ t^{2},\ \text{dan}\ t+t^{2}$, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah...
$(A).$ 102
$(B).$ 150
$(C).$ 175
$(D).$ 180

Alternatif Pembahasan: show

Sekarang kita coba bermain dengan Barisan Aritmatika;
$U_{4}=a+3b=t$
$U_{7}=a+6b=t^{2}$
$U_{10}=a+9b=t+t^{2}$
$U_{1010}=a+1009b=2018$

$U_{4}+U_{7}=t+t^{2}$
$a+3b+a+6b=t+t^{2}$
$2a+9b=a+9b$
$a=0$

$a+1009b=2018$
$1009b=2018$
$b=\frac{2018}{1009}$
$b=2$

$\begin{align}
U_{100}-U_{10} & = a+99b-a+9b \\
& = 90b \\
& = 90(2) \\
& = 180 \\
\end{align}$

$(2).$ Jika $\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}$, maka jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 2
$(B).$ 1
$(C).$ 0
$(D).$ -1

Alternatif Pembahasan: show

Soal sepertinya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
\begin{split} \frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n} & =\frac{3}{2n} \\
\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}- \frac{3}{2n} & =0 \\
\frac{6}{6n}-\frac{2}{6n}+\frac{2n^{2}}{6n}-\frac{3}{6n}- \frac{9}{6n} & =0 \\
\frac{2n^{2}-8}{6n} & =0 \\
\frac{n^{2}-4}{3n} & =0 \\
n^{2}-4 & =0 \\
(n-2)(n+2) & =0 \\
n=2\ \text{atau}\ n=-2 \\
\text{Jumlah semua nilai $n$ adalah}\ 2 + (-2)=0 \end{split}

$(3).$ Dari gambar berikut ini diketahui $AP=11\ cm$, $OA=2\ cm$,

Pernyataan yang salah adalah...
$(A).$ keliling $DEFPD$ adalah 22 cm
$(B).$ $OP=5\sqrt{5}\ cm$
$(C).$ $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
$(D).$ $AD=DE$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba perhatikan gambar lingkaran dan garis singgung $AP$ dan $BP$ sehingga $\bigtriangleup OAP$ siku-siku di $A$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
OP^{2} & = OA^{2} + AP^{2} \\
& = 2^{2} + 11^{2} \\
& = 125 \\
OP & = \sqrt{125} \\
& = 5 \sqrt{5}\ (B)\end{align}$

Lalu kita coba perhatikan segiempat $OADE$.
Dimana $AD$ dan $DE$ adalah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OED=\angle OAD=90^{\circ}$ dan $OA=OE=2$, maka $OADE$ adalah sebuah layang-layang sehingga $AD=DE$ $(D)$.

Jika kita perhatikan segiempat $OEFB$.
Dimana $EF$ dan $BF$ adalah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OEF=\angle OBF=90^{\circ}$ dan $OB=OE=2$, maka $OEFB$ adalah sebuah layang-layang sehingga $EF=BF$.
Keliling $DEFPD$
$\begin{align}
& = DE+EF+FP+PD \\
& = AD+BF+FP+PD \\
& = AD+PD+BF+FP \\
& = 11+11 \\
& = 22\ (A)\end{align}$

Sekarang kita perhatikan $\bigtriangleup OEP$ untuk memastikan kebenaran $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
Kita ketahui bahwa jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari panjang sisi yang lainnya, pada segitiga $OEP$ harus berlaku:
$OE+EP > OP$
$2+EP > 5 \sqrt{5}$
$EP > 5 \sqrt{5}-2$
Ini menunjukkan pernyataan yang mengatakan $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$ adalah pernyataan salah.

$(4).$ Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin adalah ...
$(A).$ 121 atau 143
$(B).$ 169 atau 689
$(C).$ 403 atau 989
$(D).$ 481 atau 121

Alternatif Pembahasan: show

Disampaikan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ adalah diantara: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, dan 97.

Bilangan prima dua digit adalah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$

• Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(11,11)$
  Nilai dari $𝑟=pq$ yang memenuhi adalah 121.
• Jika $𝑝+𝑞=44$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,31)$.
  Nilai dari 𝑟 yang memenuhi adalah 403.
• Jika $𝑝+𝑞=66$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi adalah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$. Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi adalah 689, 893, dan 989.
• Jika $𝑝+𝑞=88$, maka $𝑟$ bukan bilangan tiga digit.

$(5).$ Sebuah wadah memuat 5 buah bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah....
$(A).\ \frac{1}{448}$
$(B).\ \frac{7}{280}$
$(C).\ \frac{1}{56}$
$(D).\ \frac{1}{7}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Bola diambil dua sekaligus tanpa pengembalian sebanyak tiga kali, maka peluang bahwa setiap pengambilan bola yang terambil beda warna dalam bahasa adalah peluang pertama beda warna dan peluang kedua beda warna dan peluang ketiga beda warna.

• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(I) & = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{3}{1}}{\binom{8}{2}} \\
  & = \frac{5 \cdot 3}{28}=\frac{15}{28} \end{align}$
• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(II) & = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{6}{2}} \\
  & = \frac{4 \cdot 2}{15}=\frac{8}{15} \end{align}$
• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(III) & = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{4}{2}} \\
  & = \frac{3 \cdot 1}{6}=\frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Peluang terambilnya bola warna berbeda adalah $\frac{15}{28} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{7}$

$(6).$ Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
$(A).$ 14
$(B).$ 26
$(C).$ 29
$(D).$ 36

Alternatif Pembahasan: show

$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$

$G$ adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan.

• Hasil penjumlahan tiga bilangan asli berurutan. Untuk $𝑎=1,2,3,\cdots$ kita dapat anggota bilangan $G$ adalah sebagai berikut:
  $𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)=3𝑎+3$, [Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$]
  $G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $
• Hasil penjumlahan empat bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)+(𝑎+3)=4𝑎+6$, [Bilangan jika dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$]
  $𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $
• Hasil penjumlahan lima bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+4)=5𝑎+10$, [Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$]
  $𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$
• Hasil penjumlahan enam bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+5)=6𝑎+15$, [Bilangan jika dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$]
  $𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$
• Hasil penjumlahan tujuh bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+6)=7𝑎+21$, [Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$]
  $𝐺=28,35,42,49,\cdots$
• Hasil penjumlahan delapan bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+7)=8𝑎+28=$, [Bilangan jika dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$]
  $𝐺=36,44,\cdots$
• Hasil penjumlahan sembilan bilangan asli berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+8)=9𝑎+36$, [Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$]
  $𝐺=45,\cdots $

Banyak anggota $G$ tak hingga, tetapi anggota $G$ yang merupakan anggota $F$ adalah 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 49, dan 50.

$n(F\ \cap\ G)=29$

$(7).$ Kubus $ABCD\ PQRS$ memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika $E$ titik tengah $PQ$ dan $F$ adalah titik tengah $QR$, maka luas daerah $ACFE$ adalah ... $cm^{2}$
$(A).\ 16$
$(B).\ 18$
$(C).\ 32$
$(D).\ 64$

Alternatif Pembahasan: show

$AD=4$, $AC=4\sqrt{2}$,

$\begin{align}
EF^{2} & = EQ^{2} + QF^{2} \\
& = 2^{2} + 2^{2} \\
& = 8 \\
EF & = \sqrt{8} \\
& = 2 \sqrt{2} \end{align}$

$\begin{align}
AE^{2} & = AP^{2} + PE^{2} \\
& = 4^{2} + 2^{2} \\
& = 20 \\
EF & = \sqrt{20} \\
& = 2 \sqrt{5} \end{align}$

$\begin{align}
EG^{2} & = AE^{2} - AG^{2} \\
& = (\sqrt{20})^{2} - (\sqrt{2})^{2} \\
& = 20 - 2 \\
EG & = \sqrt{18} \\
& = 3 \sqrt{2} \end{align}$

Luas $ACFE$ adalah:
$\begin{align}
[ACFE] & = \frac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \frac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \frac{1}{2} (2 \sqrt{2}+4 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = \frac{1}{2} (6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = 18 \end{align}$

$(8).$ Grafik dibawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.

Pernyataan berikut yang salah adalah...
$(A).$ Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10
$(B).$ Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada detik ke-18 hingga detik ke-23
$(C).$ Pada detik ke-10 hingga detik ke-15 kendaraan A dan B berhenti.
$(D).$ Sampai dengan Km 1 rata-rata kecepatan kendaraan A lebih besar daripada kecepatan kendaraan B

Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan grafik dan pernyataan pada pilihan soal, kita dapat menyimpulkan

• Pernyataan yang $(A)$ Benar, karena kecepatan terendah pertama ada pada saat detik ke-10 hingga ke-15;
• Pernyataan yang $(B)$ Salah, karena kecepatan tertinggi kendaraan B adalah pada detik ke-2 sampai detik ke-8;
• Pernyataan yang $(C)$ Benar, karena dari detik ke-10 hingga ke-15 tidak ada pertambahan jarak tempuh kedua kendaraan;
• Pernyataan yang $(D)$ Benar, Karena waktu yang dibutuhkan kendaraan A untuk menempuh 1 km lebih sedikit dari kendaraan B;

$(9).$ Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A).\ y=2x+4$
$(B).\ y=2x-4$
$(C).\ y=-2x+4$
$(D).\ y=-2x-4$

Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas adalah menyimbolkan bayangan garis setelah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis setelah ditransformasikan adalah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$(10).$ Jika $0 < a < 1$ dan grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+2a$ berada di bawah grafik fungsi $y=(a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1)$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$(A).$ $0 < x < 3$
$(B).$ $a < x < 3$
$(C).$ $a+1 < x < 3$
$(D).$ $3 < x < 3+a$

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita mencari nilai $x$ yang memenuhi, fungsi kuadrat kita coba sederhanakan menjadi;
$\begin{align}
y_{1} & = a(x-1)^{2}+2a \\
& = a(x^{2}-2x+1)+2a \\
& = ax^{2}-2ax+3a \end{align}$

$\begin{align}
y_{2} & = (a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1) \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}+2a-4a^{2}-2a \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2} \end{align}$

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y_{1}$ berada dibawah grafik $y_{2}$ sehingga berlaku;
$y_{1} < y_{2}$
$ax^{2}-2ax+3a < xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2}$
$ax^{2}-2ax+3a-xa^{2}-2ax-a^{2}+4a^{2} < 0$
$ax^{2}-(4a+a^{2})x+3a^{2}+3a < 0$
$x^{2}-(4+a)x+3a+3 < 0$

Dengan menggunakan rumus abc [Rumus Al-Kharizmi] kita coba cari pembuat nol pertidaksamaan;
$\begin{split} x_{12} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{(4+a)^{2}-4(3a+3)}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{a^{2}+8a+16-12a-12}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{a^{2}-4a+4}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{(a-2)^{2}}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm (a-2)}{2} \\
x_{1} & = \frac{4+a + (a-2)}{2}=a+1 \\
x_{2} & = \frac{4+a - (a-2)}{2}=3 \\
\end{split}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $a+1 < x < 3$

$(11).$ Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...

$(A).$ $x=74^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(B).$ $x=37^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(C).$ $x=74^{\circ};\ y=114^{\circ}$
$(D).$ $x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ})=180^{\circ}$
$61^{\circ}+2x+45^{\circ}=180^{\circ}$
$2x=180^{\circ}-106^{\circ}$
$2x=74^{\circ}$
$x=37^{\circ}$

$y=180^{\circ}-2x$
$y=180^{\circ}-74^{\circ}$
$y=106^{\circ}$

$(12).$ Grafik berikut menunjukkan persentase berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.

Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah...orang
$(A).$ 454
$(B).$ 476
$(C).$ 494
$(D).$ 536

Alternatif Pembahasan: show

Informasi yang bisa kita kumpulkan dari grafik dan tabel diatas untuk peserta Perempuan adalah sebagai berikut;

• Tahun 2013
  Perempuan: $\frac{40}{100} \times 1400 = 560$
  Lulus: $\frac{40}{100} \times 800 = 320$
  Tidak Lulus: $560-320=240$
• Tahun 2014
  Perempuan: $\frac{50}{100} \times 800 = 400$
  Lulus: $\frac{50}{100} \times 660 = 330$
  Tidak Lulus: $400-330=70$
• Tahun 2015
  Perempuan: $\frac{36}{100} \times 1000 = 360$
  Lulus: $\frac{55}{100} \times 500 = 275$
  Tidak Lulus: $360-275=85$
• Tahun 2016
  Perempuan: $\frac{45}{100} \times 500 = 225$
  Lulus: $\frac{52}{100} \times 400 = 208$
  Tidak Lulus: $225-208=17$
• Tahun 2017
  Perempuan: $\frac{30}{100} \times 1100 = 330$
  Lulus: $\frac{36}{100} \times 800 = 288$
  Tidak Lulus: $330-288=42$

Total peserta perempuan tidak lulus adalah:
$240+70+85+17+42=454$

$(13).$ Menjelang tahun baru, harga sejenis pakaian olahraga dipotong [didiskon] dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Jika harga mula-mula suatu pakaian Rp400.000,00, maka seseorang yang membeli pakaian tersebut harus membayar sebesar...

$(A).$ Rp124.000,00
$(B).$ Rp136.000,00
$(C).$ Rp276.000,00
$(D).$ Rp300.000,00

Alternatif Pembahasan: show

Misal Harga setelah diskon pertama adalah $H_{1}$ dan Harga setelah diskon kedua adalah $H_{2}$
$\begin{split} H_{1} &= \frac{100-60}{100} \times 400.000 \\
&=\ \frac{40}{100} \times 400.000 \\
&=\ 160.000 \\

H_{2} &= \frac{100-15}{100} \times 160.000 \\
&=\ \frac{85}{100} \times 160.000 \\
&=\ 136.000 \end{split}$

$(14).$ Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah $16$. Median dari data adalah $10$. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah...
$(A).$ 5,0
$(B).$ 5,5
$(C).$ 6,0
$(D).$ 6,5

Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan 21 bilangan bulat positif setelah diurutkan dari yang terkecil adalah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{21}$.
Bilangan terbesar: $x_{21}=16$
Median: $x_{11}=10$
Rata-rata:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
Agar rata-rata yang dihasilkan adalah yang terkecil dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $21$ dan median $10$, maka kita anggap saja $x_{1}$ sampai $x_{10}$ nilainya adalah $1$, lalu $x_{11}$ sampai $x_{20}$ nilainya adalah $10$.

Rata-rata nilai terkecil adalah:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
$\bar{x}=\frac{10 \times 1+ 10 \times 10+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{10+100+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{126}{21}$
$\bar{x}=6$

$(15).$ Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7 adalah...
$(A).$ $\frac{1}{45}$
$(B).$ $\frac{1}{30}$
$(C).$ $\frac{1}{8}$
$(D).$ $\frac{1}{4}$

Alternatif Pembahasan: show

Ruang Sampel adalah Banyak bilangan asli dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$

Kejadian yang diharapkan adalah bilangan yang memiliki digit penyusun prima dan bersisa 3 jika dibagi 7.
Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah
22, 23, 25, 27,
32, 33, 35, 37,
52, 53, 55, 57,
72, 73, 75, 77.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa 3 jika dibagi 7 [*habis dibagi 7 jika ditambahkan 4] adalah 52 dan 73.
$n(E)=2$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$

$(16).$ Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$ adalah...
$(A).$ $x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x \geq 2$
$(B).$ $-2 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 2$
$(C).$ $0 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 12$
$(D).$ $- \frac{7}{4} \leq x \leq 2$

Alternatif Pembahasan: show

$\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$

Dari pertidaksamaan pecahan diatas, jika kita perhatikan bilangan pada penyebut sama dengan yang di dalam akar yaitu $x+2$.
Sehingga agar pertidaksamaan ini terdefenisi syarat yang dipenuhi pertama adalah $x+2 > 0$ atau $x > -2$

Kita coba bermain dengan memisalkan $x+2=m$
\begin{split}\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} & \geq 0\\
\frac{2(m+1)-5\sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
\frac{2m+2-5 \sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
2m+2-5 \sqrt{m} & \geq 0\\
2m+2 & \geq 5 \sqrt{m}\\
(2m+2)^{2} & \geq (5 \sqrt{m})^{2} \\
4m^{2}+8m+4 & \geq 25m \\
4m^{2}-17m+4 & \geq 0 \\
(4m-1)(m-4) & \geq 0 \\
\text{Nilai $m$ yang memenuhi adalah:}\\
m \leq \frac{1}{4} \text{atau}\ m \geq 4 \end{split}
Kita substitusikan kembali nilai $m=x+2$

• $m \leq \frac{1}{4} $
  $x+2 \leq \frac{1}{4} $
  $x \leq -\frac{7}{4} $
• $m \geq 4$
  $x+2 \geq 4$
  $x \geq 2$

Dengan mengabungkan kedua syarat diatas dan syarat awal $x > -2$ maka akan kita peroleh pertidaksamaan sebagai berikut:

$-2 < x \leq -\frac{7}{4}$ atau $x \geq 2$

$(17).$ Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(x+2y)^{z} = 64$ ada sebanyak...
$(A).$ 4
$(B).$ 32
$(C).$ 35
$(D).$ 36

Alternatif Pembahasan: show

$(x+2y)^{z}=64=2^{6}=4^{3}=8^{2}$

• Kemungkinan I;
  $(x+2y)^{z}=2^{6}$, diperoleh nilai $z=6$ dan $(x+2y)=2$.
  Pada saat ini tidak ada nilai $x$ dan $y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $(x+2y)=2$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 0.
• Kemungkinan II;
  $(x+2y)^{z}=4^{3}$, diperoleh nilai $z=3$ dan $(x+2y)=4$.
  Pasangan $(x,y)$ adalah $(2,1)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1.
• Kemungkinan III;
  $(x+2y)^{z}=8^{2}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(x+2y)=8$
  Pasangan $(x,y)$ adalah $(6,1),(4,2),(2,3)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 3.
• Kemungkinan IV;
  $(x+2y)^{z}=64^{1}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(x+2y)=64$
  Pasangan $(x,y)$ adalah $(62,1),(60,2),(58,3), \cdots ,(2,31)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 31.

Total banyak kemungkinan tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak $0+1+3+31=35$

$(18).$ Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
$(A).$ 7
$(B).$ 8
$(C).$ 9
$(D).$ 10

Alternatif Pembahasan: show

• Rata-rata usia suami istri saat menikah adalah $25$ tahun.
  Misal usia suami saat menikah adalah $s$, dan usia istri saat menikah adalah $i$.
  $\frac{s+i}{2}=25$
  $s+i=50$
• Rata-rata usia keluarga saat anak pertama lahir adalah $18$ tahun;
  Misal anak pertama lahir setelah usia pernikahan $a$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+a)+(i+a)+0}{3}=18$
  $s+i+2a=54$
  $50+2a=54$
  $2a=4\ \Rightarrow a=2$
  Anak pertama lahir setelah perkawinan berumur $2$ tahun, sehingga umur $s+i=50+4=54$;
• Rata-rata usia keluarga saat anak kedua lahir adalah $15$ tahun.
  Misal anak kedua lahir setelah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4}=15$
  $s+i+3b=60$
  $54+3b=60$
  $3b=6\ \Rightarrow b=2$
  Anak kedua lahir setelah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga usia $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun
• Rata-rata usia keluarga saat anak ketiga dan keempat lahir [kembar] adalah $12$ tahun.
  Misal anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak baru lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6}=12$
  $s+i+4c+2=72$
  $58+4c+2=72$
  $4c=12\ \Rightarrow c=3$
  Anak ketiga dan keempat lahir setelah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga umur $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun;
• Rata-rata usia enam orang saat ini adalah $16$ tahun.
  Misal usia anak ketiga dan keempat saat ini adalah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan usia $s+i=64+2d$.
  $\frac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6}=16$
  $\frac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6}=16$
  $\frac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6}=16$
  $\frac{72+6d}{6}=16$
  $72+6d=96$
  $6d=24\ \Rightarrow\ d=4$
  Pada saat ini, usia anak pertama adalah $5+4=9$ tahun;

$(19).$ Perhatikan $\bigtriangleup ABC$ dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.

Jika $\bigtriangleup ABC$ sama sisi dengan $CD=6\ cm$, maka luas daerah lingkaran dalam adalah...$cm^{2}$
$(A).$ 16 $\pi$
$(B).$ 12 $\pi$
$(C).$ 9 $\pi$
$(D).$ 4 $\pi$

Alternatif Pembahasan: show

Lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga sama sisi, maka pusat lingkaran titik $O$ juga merupakan pusat segitiga.
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}-DC^{2} \\
& = 12^{2}-6^{2} \\
& = 144-36 \\
& = 108 \\
AD & = \sqrt{108} \\
& = 6\sqrt{3} \end{align}$

Perbandingan $AO:OD=2:1$
$OD=\frac{1}{3} \times AD$
$OD=\frac{1}{3} \times 6\sqrt{3}$
$OD=2\sqrt{3}$

Luas Lingkaran adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi (2\sqrt{3})^{2} \\
& = 12 \pi \end{align}$

$(20).$ Diberikan $\bigtriangleup ABC$. Jika $AC=AB=1\ cm$ dan $BC=\sqrt{3}\ cm$, maka luas $\bigtriangleup ABC$ adalah ... $cm^{2}$.
$(A).$ $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B).$ $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(C).$ $\frac{1}{4}\sqrt{3}$
$(D).$ $\frac{1}{4}$

Alternatif Pembahasan: show

$\bigtriangleup ABC$ adalah segitiga sama kaki maka:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2} - CD^{2} \\
& = 1^{2} - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2} \\
& = 1-\frac{3}{4} \\
AD & = \sqrt{\frac{1}{4}} \\
& = \frac{1}{2} \end{align}$

Luas $\bigtriangleup ABC$
$\begin{align}
[ABC] & = \frac{1}{2} BC \cdot AD \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{4} \sqrt{3} \end{align}$

$(21).$ Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu $P,\ Q,\ R,\ S$. Persentase pajak dan ongkos kirim sepeda motor dihitung berdasarkan harga pokok. Persentase laba dihitung berdasarkan hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel berikut.

Jika harga beli adalah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga jual sepeda motor paling mahal adalah jenis...
$(A).\ P$
$(B).\ Q$
$(C).\ R$
$(D).\ S$

Alternatif Pembahasan: show

Mulai dari Harga pokok, Pajak, Ongkos kirim, Harga beli, Laba dan Harga jual sepeda motor diatas jika kita tuliskan dalam rupiah $(Rp)$ adalah sebagai berikut;

• Sepeda Motor $P$
  
  • Harga Pokok: 11.000.000
  • Pajak: 550.000
  • Ongkos Kirim: 770.000
  • Harga Beli:12.320.000
  • Laba:1.478.000
  • Harga Jual:13.798.400
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 10.400.000
  • Pajak: 624.000
  • Ongkos Kirim: 1.040.000
  • Harga Beli:12.064.000
  • Laba:1.447.680
  • Harga Jual:13.511.680
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 10.700.000
  • Pajak: 749.000
  • Ongkos Kirim: 963.000
  • Harga Beli:12.412.000
  • Laba:1.489.000
  • Harga Jual:13.901.440
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 11.300.000
  • Pajak: 565.000
  • Ongkos Kirim: 678.000
  • Harga Beli:12.543.000
  • Laba:1.254.300
  • Harga Jual:13.797.300

Harga Jual sepeda motor yang paling mahal adalah sepeda motor $R$

$(22).$ Jika $x^{4}y^{5}z^{2} < 0$ dan $xz < 0$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A).$ $xyz < 0$, jika $ yz > 0$
$(B).$ $ \frac{yz}{x} < 0$, jika $xy < 0$
$(C).$ $xy < 0$, jika $yz > 0$
$(D).$ $xy > 0$, jika $yz > 0$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba bermain dari pertidaksamaan;
$x^{4}y^{5}z^{2} < 0$
$(xz)^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Karena $xz < 0$ $\Rightarrow$ $(xz)^{2} > 0$
$ x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Untuk sembarang $x$ $\Rightarrow$ $x^{2} > 0$
$y^{5} < 0$ $\Rightarrow$ $y < 0$

Dari $xz < 0$ dan $y < 0$, hal yang mungkin terjadi adalah;

• $x < 0$, $z > 0$ dan $y < 0$
• $x > 0$, $z < 0$ dan $y < 0$

Berdasarkan dua kemungkinan nilai $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ diatas pernyataan yang benar pada soal adalah $xy < 0$, jika $yz > 0$.

$(23).$ Pada sebuah laci terdapat kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah $\frac{1}{2}$. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah ...
$(A).\ 12$
$(B).\ 15$
$(C).\ 18$
$(D).\ 21$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil tentang aturan Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Misal banyak kaos kaki putih adalah $p$ dan banyak kaos kaki hitam adalah $h$ maka banyak kaos kaki di dalam laci adalah $p+h$.

$S:$ diambil 2 kaos kaki sekaligus.
$n(S)= \binom{2}{p+h}$

$E:$ terpilih kedua kaos kaki putih.
$n(E) =\binom{2}{p}$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$\frac{1}{2}=\frac{\binom{2}{p}}{\binom{2}{p+h}}$
$\frac{1}{2}=\frac{p(p-1)}{(p+h)(p+h-1)}$
$2p^{2}-2p=p^{2}+2ph+h^{2}-p-h$
$p^{2}-(2h+1)p+h-h^{2}=0$

Dengan menggunakan rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
$x_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p=\frac{2h+1+\sqrt{8h^2+1}}{2}$.

Untuk $h$ bilangan genap

• $h=2$ maka $p=\frac{4+1+\sqrt{32+1}}{2}$
  $p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=2$ tidak memenuhi.
• $h=4$ maka $p=\frac{8+1+\sqrt{128+1}}{2}$
  $p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=4$ tidak memenuhi.
• $h=6$ maka $p=\frac{12+1+\sqrt{188+1}}{2}=15$
  $ \therefore $ Nilai minimum dari $p=15$

$(24).$ Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif dengan $y > 1$, sehingga $x^{y}=3^{18}5^{30}$, maka nilai $x-y$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 84375
$(B).$ 84369
$(C).$ 84363
$(D).$ 84357

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba mulai menyelesaikan soal diatas dengan merubah $3^{18}5^{30}$ menjadi bilangan dengan bentuk $x^{y}$.
\begin{split}x^{y} &= 3^{18}5^{30}\\
&=\ (3^{3})^{6} \cdot (5^{5})^{6}\\
&=\ (3^{3} \cdot 5^{5})^{6}\\
&=\ (27 \cdot 3125)^{6}\\
&=\ 84375^{6}\end{split}
Dari bentuk bilangan berpangkat diatas kita peroleh nilai $x=84375$ dan $y=6$.
Nilai $x-y=84375-6=84369$

$(25).$ Salah satu contoh situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

Alternatif Pembahasan: show

Jika kalimat-kalimat pada pilihan soal diatas kita coba tulis dengan simbol-simbol, kurang lebih seperti berikut ini;
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut memiliki uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+3y \leq 30000$
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$

Ide, referensi, atau penjabaran dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara.

Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Sukamto, S.Pd.,Gr Guru Matematika SMPN 1 Kambata Mapambuhang dan bapak Denih Handayani creatornya m4th-lab.net, alternatif penyelesaian soal diatas sedikit banyaknya juga dipengaruhi oleh ide-ide keren dari mereka.

Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna, Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan senang hati segera menanggapinya😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan dengan cara pilar;

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi