Tika.., selagi kita ada waktu bersantai sambil menikmati pisang goreng dan segelas kopi lintong buatan mu ini, gimana kalu kita sambil membahas soal matematika, kata Ema dengan semangat.
Ide bagus itu Ema.., apalagi dengan minum kopi lintong ini mungkin ide-ide kreatif kita akan bermunculan.. hahahaa... balas Tika. Soal matematika mana yang akan kita coba diskusikan...
Ini ada soal matematika SMP dari temannya Mat, oh iya Mat sedang perjalanan menuju kemari kita lanjut aja katanya duluan diskusi. Kata temannya Mat ini adalah soal Olmpiade matematika SMP yang dilaksanakan oleh sekolah favorit di wilayah Sumatera Utara yaitu SMA Unggul DEL. Untuk anak-anak SMP yang tidak terbiasa dengan soal-soal seperti ini mungkin akan sedikit merasa kesulitan pada awalnya, tetapi setelah dipahami secara matematis dan sedikit logika, maka soal pasti pasti bisa diselesaikan dan dipahami.
Baiklah mari kita coba, sambung Tika, sambil menunggu Mat datang mudah-mudahan ada yang bisa selesai kita diskusikan;
1. Max berlari menghindari kejaran zombie. Untuk melepaskan diri, dia berlari $40$ meter dan kemudian putar arah halaun $90^{\circ}$ ke kanan atau ke kiri. Tepat sebelum putaran ke-4, jarak terjauh dari tempat semula adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 40 \sqrt{5}\ meter \\
(B)\ & 160\ meter \\
(C)\ & 80 \sqrt{10}\ meter \\
(D)\ & 80 \sqrt{2}\ meter
\end{align}$
Max berlari dan akan putar kiri atau kanan setelah berlari sejauh $40$ meter.
Agar jarak tempuh dari tempat awal ke tempat akhir terjauh, setelah berlari $40\ m$ Max putar kanan, lalu berlari dan putar kiri, lalu berlari dan putar kanan dan seterusnya.
Dengan kata lain Max setealh berlari harus berputar berlawanan arah putar dari arah sebelumnya, karena kalau Max berputar dengan arah putar yang sama maka dia akan kembali ke tempat semula atau jarak dari tempat semula akan minimum.
Ilustrasi lintasan yang ditempuh Max jika dia berlari arah putaran selalu sama.
$\begin{align}
AC^{2} & = AB^{2}+BC^{2} \\
& = 40^{2} + 40^{2} \\
& = 1600 + 1600 \\
& = 3200 \\
AC & = \sqrt{3200}=40\sqrt{2}
\end{align}$
Karena jarak $AC=CE$, maka $AE=40\sqrt{2}+40\sqrt{2}=80\sqrt{2}$
$\therefore$ Jarak terjauh dari tempat semula adalah $(D)\ 80 \sqrt{2}\ meter$
2. Banyak persegi pada pola gambar ke-(10) adalah
$\begin{align}
(A)\ & 181 \\
(B)\ & 201 \\
(C)\ & 221 \\
(D)\ & 241
\end{align}$
Dengan melihat gambar banyak persegi pada setiap pola adalah
- Pola 1: 5 Persegi
- Pola 2: 13 Persegi
- Pola 3: 25 Persegi
- Pola 1: $2 (2 \times 1) +1=5$
- Pola 2: $2 (3 \times 2) +1=13$
- Pola 3: $2 (4 \times 3) +1=25$ Jika kita teruskan polanya menjadi
- Pola 4: $2 (5 \times 4) +1=41$
- Pola 5: $2 (6 \times 5) +1=61$
- Pola 10: $2 (11 \times 10) +1=221$
3. Perhatikan gambar di bawah ini
Berapa banyak persegi yang dibutuhkan agar neraca tetap setimbang ketika dilepaskan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 6
\end{align}$
Dari ilustrasi gambar kita peroleh informasi bahwa timbangan seimbang saat 3 persegi ditambah 1 segitiga dengan 1 segitiga dan 1 lingkaran.
Secara simbol dapat kita tuliskan $3P+1S\ \equiv\ 1S+1L$.
Dari informasi diatas dapat juga kita simpulkan yaitu $3P\ \equiv\ 1L$.
Pada timbangan kedua ada $1L+2P$, agar timbangan seimbang maka banyak persegi yang harus diisi adalah 5 persegi, karena $3P\ \equiv\ 1L$.
$\begin{align}
1L+2P & \equiv\ 1L+2P \\
& \equiv\ 3P+2P \\
& \equiv\ 5P
\end{align}$
$\therefore$ Banyak persegi yang dibutuhkan agar neraca tetap setimbang ketika dilepaskan adalah $(C)\ 5$
4. Bilangan $\frac{2016^{2}-2017^{2}}{2016+2017}$ merupakan bilangan...
$\begin{align}
(A)\ & \text{bilangan bulat postif} \\
(B)\ & \text{bilangan asli} \\
(C)\ & \text{bilangan bulat negatif} \\
(D)\ & \text{bilangan pecahan}
\end{align}$
Sebagai catatan kita masih ingat sifat aljabar yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
$\begin{align}
& \frac{2016^{2}-2017^{2}}{2016+2017} \\
& = \frac{(2016+2017)(2016-2017)}{2016+2017}\\
& = (2016-2017) \\
& = -1
\end{align}$
$\therefore$ Bilangan $\frac{2016^{2}-2017^{2}}{2016+2017}$ merupakan $(C). \text{bilangan bulat negatif}$
5. Arjuna menyalin catatan pelajaran menjumlahkan adiknya, namun ia mengganti angka-angka pada catatan tersebut menjadi huruf $D,\ E,\ \text{dan}\ L$. Jika yang dicatat Arjuna adalah
$\begin{align}
& E\ E\ E\ E \\
& D\ D\ D\ D \\
& L\ L\ L\ L \, \, (+)\\
\hline
D\ & E\ E\ E\ L
\end{align}$
maka nilai $L$ yang tepat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 8
\end{align}$
Dari melihat pola penjumlahan bilangan, pertama yang bisa kita simpulkan adalah $D,\ E,\ \text{dan}, L$ adalah bilangan asli.
Lalu kita coba cek penjumlahan dari satuan yaitu $E+D+L=L$ artinya $E+D=10$.
Lalu kita coba cek penjumlahan dari puluhan yaitu $1+E+D+L=E$ artinya $1+D+L=10$.
Lalu kita coba cek penjumlahan dari ratusan yaitu $1+E+D+L=E$ artinya $1+D+L=10$.
Lalu kita coba cek penjumlahan dari ribuan yaitu
$\begin{align}
1+E+D+L & = DE \\
1+10+L & = DE \\
11+L & = DE \\
\end{align}$
Sampai pada persamaan $11+L = DE$, nilai $L$ sudah bisa kita tafsir karena nilai $DE$ kurang dari $20$ dan $D+E=10$ maka nilai $L$ yang mungkin adalah $8$
$\therefore$ Nilai $L$ yang tepat adalah $(D)\ 8$
6. Hari ini hari sabtu, 2017 hari yang akan datang adalah hari...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Jumat} \\
(B)\ & \text{Sabtu} \\
(C)\ & \text{Mingggu} \\
(D)\ & \text{Senin}
\end{align}$
Hari yang ada adalah Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, dan Minggu. Artinya hari akan kembali berulang setelah hari kedelapan.
Kita coba dengan menggunakan konsep sisa pembagian,
Misalnya jika sekarang hari sabtu 9 hari lagi adalah hari senin, karena 9 dibagi 7 sisa 2.
Jadi 9 hari lagi sama dengan 2 hari lagi.
Untuk 2017 hari lagi, cukup dengan kita bagi 7, 2017 dibagi 7 sisa 1.
Jadi 2017 hari lagi sama dengan 1 hari lagi.
$\therefore$ Hari ini hari sabtu, $2017$ hari yang akan datang adalah hari $(C)\ \text{Minggu}$
Coba latih lagi soal tentang menemukan hari lahir pada Matematika di Hari Paskah [Cara Menentukan Hari Lahir]
7. Jika $FPB(x,y)=12$ dan $KPK(x,y)=210$, maka $xy=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2010 \\
(B)\ & 2520 \\
(C)\ & 2250 \\
(D)\ & 2100
\end{align}$
FPB: Faktor Persekutuan Terbesar;
KPK: Kelipatan Persekutuan Terkecil;
Jika $FPB(x,y)=m$ dan $KPK(x,y)=n$ maka $x \cdot y = m \cdot n$
Jika $FPB(x,y)=12$ dan $KPK(x,y)=210$, maka $xy= 12 \cdot 210=2250$
$\therefore$ Nilai $xy$ adalah $(C)\ 2250$
8. Pada gambar di bawah ini
Nilai dari $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 75^{\circ} \\
(B)\ & 90^{\circ} \\
(C)\ & 115^{\circ} \\
(D)\ & 120^{\circ}
\end{align}$
Dari gambar dapat kita tentukan bahwa segitiga $AED$ adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga sudut $\angle EAD= \angle ADE$.
Untuk sudut $b$ dan $c$, kita coba ilustrasikan seperti berikut;
Tetapi jika belum bisa dengan melihat gambar, kita coba tentukan lewat panjang sisi-sisi segitiga, nilai $CF=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$, $DF=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$ dan $CD=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$.
Dari hubungan nilai $CF=DF=\sqrt{5}$ dan $CD=\sqrt{10}$ berlaku $CD^{2}=DF^{2}+CD^{2}$ sehingga $\bigtriangleup CDF$ adalah segitiga siku-siku sama kaki yang siku-siku di $\angle CFD$.
Karena $\bigtriangleup CFD$ siku-siku sama kaki maka $\angle FCD = \angle FDC=45^{\circ}$ dan $\angle FCD =b+c=45^{\circ}$.
$\therefore$ Nilai dari $a+b+c=45^{\circ}+45^{\circ}$ adalah $(B)\ 90^{\circ}$
9. Jika luas segi enam beraturan di bawah ini $1$ satuan luas, maka luas daerah yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \frac{1}{15} \\
(B)\ & \frac{1}{16} \\
(C)\ & \frac{1}{18} \\
(D)\ & \frac{1}{24}
\end{align}$
Segi enam beraturan disusun oleh 6 segitiga samasisi, ilustrasinya kurang lebih seperti berikut ini;
Dari gambar juga kita peroleh bahwa luas yang dirsir $OB'PA'$ adalah $\frac{1}{3}$ dari luas $\bigtriangleup OAB$ yaitu $\frac{1}{3} \times [OAB]=\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{18}$.
$\therefore$ Luas daerah yang diarsir adalah $(C)\ \frac{1}{18}$
10. Jika 4 alat masak membutuhkan waktu 4 jam untuk membuat 4 porsi kue ulang tahun, maka berapa waktu yang dibutuhkan membuat 8 porsi kue ulang tahun dengan menggunakan 8 alat masak adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1\ \text{jam} \\
(B)\ & 2\ \text{jam} \\
(C)\ & 4\ \text{jam} \\
(D)\ & 8\ \text{jam}
\end{align}$
Disampaikan bahwa untuk 4 alat masak membutuhkan waktu 4 jam untuk membuat 4 porsi kue ulang tahun.
Waktu untuk membuat 8 porsi kue ulang tahun dengan menggunakan 8 alat masak adalah 4 jam.
Karena ini sama dengan pernyataan awal bahwa membuat 4 porsi kue ulang tahun dengan 4 alat masak membutuhkan waktu 4 jam.
$\therefore$ Waktu yang dibutuhkan adalah $(C)\ 4\ \text{jam}$
11. Pada hari sabtu, tanggal 25 Februari 2017, Ima, Ami dan Mia bermain bulu tangkis di Gedung Serba Guna berturut-turut 5 hari sekali, 7 hari sekali dan 6 hari sekali. Pada hari apakah mereka akan bermain bulu tangkis bersama-sama lagi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \text{Jumat} \\
(B)\ & \text{Sabtu} \\
(C)\ & \text{Minggu} \\
(D)\ & \text{Senin}
\end{align}$
Pada hari sabtu, tanggal 25 Februari 2017, Ima, Ami dan Mia bermain bersama.
Ima bermain 5 hari sekali;
Ami bermain 7 hari sekali;
Mia bermain 6 hari sekali;
Untuk menentukan kapan mereka bermain bersama lagi dapat dengan menggunakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK).
KPK dari 5, 6, dan 7 yaitu $5 \times 6 \times 7=210$
Berarti mereka bermain bersama 210 hari setelah hari sabtu, yaitu hari sabtu.
Cara mentukan harinya adalah dengan membagi $210$ dengan $7$ sisanya $0$, berarti $210$ hari lagi sama dengan $0$ hari lagi atau hari yang sama.
$\therefore$ Mereka akan bermain bulu tangkis bersama-sama lagi pada hari $(B)\ \text{Sabtu}$
Coba latih lagi soal yang sama tentang modulo pada Belajar Modulo Dengan Cara Sederhana
12. Perhatikan gambar di bawah ini.
Koordinat titik $A,\ B,\ C,\ \text{dan}\ D$ setelah dilakukan pencerminan terhadap garis $g$ dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & A(5,3);\ B(4,1),\ C(2,1),\ D(1,3) \\
(B)\ & A(-5,-3);\ B(-4,-1),\ C(-2,-1),\ D(-1,-3) \\
(C)\ & A(3,-5);\ B(1,-4),\ C(1,-2),\ D(3,-1) \\
(D)\ & A(3,5);\ B(1,4),\ C(1,2),\ D(3,1)
\end{align}$
Dari titik yang diberikan pada gambar pertama di refleksikan terhadap garis $g:y=x$, perubahan titik adalah;
- $A(-5,3) \rightarrow A'(3,-5)$
- $B(-4,1) \rightarrow B'(1,-4)$
- $C(-2,1) \rightarrow C'(1,-2)$
- $D(-1,3) \rightarrow D'(3,-1)$
- $A'(3,-5) \rightarrow A''(3,5)$
- $B'(1,-4) \rightarrow B''(1,4)$
- $C'(1,-2) \rightarrow C''(1,2)$
- $D'(3,-1) \rightarrow D'(3,1)$
