Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.

1. $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016}= \cdots$
2. $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+ \cdots +\frac{1}{2012\times 2016}= \cdots$
3. $ \frac{1}{1\times 3\times 5}+\frac{1}{3\times 5\times 7}+$$\frac{1}{5\times 7\times 9}+ \cdots +$$\frac{1}{2013\times 2015\times 2017}= \cdots $

Beberapa waktu lalu Bapak Benny Yong mengenalkan telescoping dengan cara seperti pada gambar diatas, disini saya coba tuliskan kembali;
Dimisalkan:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} $
Diperoleh
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )}{n\left ( n+1 \right )}+\frac{B\left ( n \right )}{n\left (n+1 \right )}$
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}= \frac{A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )}{n\left ( n+1 \right )}$
$ 1=A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )$
$ 1=n\left ( A+B \right )+ A$

Untuk $ \left ( A+B \right )=0$
diperoleh $ A=1$ dan $B=-1$

Bentuk akhir diperoleh:
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Sebagai tambahan dari buku Bapak Sabar Sitanggang bisa diperluas menjadi:
$ \frac{1}{n\left ( n+p \right )}=\frac{1}{p}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right ) $ dan
$ \frac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\frac{1}{\left (n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right )$

Kita coba menyelesaikan soal yang disebutkan diawal tadi;
(1). $ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+ \cdots +\frac{1}{2015\times 2016} $
$ = \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+$$\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+ \cdots +\left ( \frac{1}{2014}-\frac{1}{2015} \right )+$$\left ( \frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} \right )$
$ =1-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\cdots+\frac{1}{2014}-$$\frac{1}{2015} +\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016} $
$ =1-\frac{1}{2016}$
$ =\frac{2015}{2016}$

(2). $ \frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\cdots+\frac{1}{2012\times 2016} $
$ = \frac{1}{4}\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\cdots+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right )$
$ = \frac{1}{4}\left (\left ( 1-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right )+\cdots+\left ( \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} \right )+\left ( \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) \right ) $
$ = \frac{1}{4} \left (1-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{9}+ \frac{1}{9}-\frac{1}{13} +\cdots+ \frac{1}{2008}-\frac{1}{2012} + \frac{1}{2012}-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2016} \right ) $
$ = \frac{1}{4}\left (\frac{2015}{2016} \right ) $
$ = \frac{2015}{8064} $

Untuk soal no.3 coba disisakan untuk pembaca sebagai latihan, kalau ada yang mau ditanyakan silahkan berpendapat, semoga bermanfaat😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Mari kita coba belajar geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

Sumber https://www.defantri.com/

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi