Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM) ~ Yayasan Umat Nusantara

Wednesday, 28 October 2015

Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM)

08:56 Olimpiade No comments

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.

Mungkin kita agak asing dengan istilah-istilah Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika / Arithmatic Mean (AM), Rataan Geometri / Geometric Mean (GM) dan Rataan Harmonik / Harmonic Mean (HM), baiklah kalau gitu akan saya jelaskan dulu satu persatu

Secara umum, Jika kita mempunyai n buah bilngan $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ... , x_{n}$ maka di definisikan bahwa:

dan selalu berlaku :

$QM\geq AM\geq GM\geq HM$

Contoh Soal 1:

(Soal Kompetensi Matematika SMU Bandung 1998/1999)

untuk p, q, r > 0 dan p+q+r=1 , buktikan bahwa

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

Jawab:

$AM\geq HM$

$\frac{p+q+r}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$

$\frac{1}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

Terbukti

Contoh Soal 2:

Buktikan bahwa $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ untuk bilangan real positif a dan b.

Jawab:

berdasarkan ketaksamaan AM-GM diperoleh:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}b^{2}}$

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

Terbukti

Untuk Latihan:

Pembahasann soal di atas bisa di download disini

Sumber https://www.m4th-lab.net/

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi

0 comments:

Post a Comment