Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.


Perbandingan Trigonometri menjadi salah satu materi yang paling indah di matematika SMA, salah satu alasannya karena perbandingan trigonometri masuk ke dalam beberapa materi lainnya seperti Persamaan, Limit, Turunan, Integral, fungsi dan dimensi tiga. Dengan diperlukannya perbandingan trigonometri ini untuk mendukung materi yang lain sehingga perbandingan trigonometri ini tampak sesuatu lebih indah dari materi yang lainnya.

Agar Belajar Perbandingan Trigonometri Menjadi Mudah ada baiknya kita lihat dasar perbandingan trigonometri yang istilahnya berasal daripada perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku.

Dari segitiga diatas dapat kita ambil beberapa data atau keterangan yang perlu kita sepakati biar lebih mudah dalam menerima materi trigonometri, antara lain;

• Segitiga adalah segitiga siku-siku di C karena besar sudut C adalah $ 90^{\circ}$
• Besar sudut-sudut yang lain selain sudut siku-siku adalah $ \alpha\ (\text{alpha})$ dan $ \beta\ (\text{beta})$
• Sisi AB adalah sisi hipotenusa atau dikatakan "sisi miring".
• Sisi AC dan BC adalah sisi yang membentuk sudut siku atau dikatakan "sisi siku".
• Sisi AC adalah sisi siku di samping sudut $ \alpha $.
• Sisi AC adalah sisi siku di depan sudut $ \beta $.
• Sisi BC adalah sisi siku di samping sudut $ \beta $.
• Sisi BC adalah sisi siku di depan sudut $ \alpha $

Setelah beberapa keterangan diatas kita sepakati, berikutnya kita akan membandingkan semua sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Perbandingan sisi pada segitiga yang kita peroleh adalah $ \dfrac{BC}{AB}$,$\dfrac{AB}{AC}$,$\dfrac{AC}{AB}$,$\dfrac{AB}{AC}$,$\dfrac{BC}{AC}$,$\dfrac{AC}{BC}$

Jika perbandingan ini kita hubungkan dengan keterangan sebelumnya maka kita peroleh perbandingan [*Patokan Sudut yang digunakan $\text{alpha}\ ( \alpha )$]:

• $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}{\text{sisi miring}}$
• $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}$
• $ \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}{\text{sisi miring}}$
• $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}$
• $ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}$
• $ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\text{sisi siku di samping sudut alpha}}{\text{sisi siku di depan sudut alpha}}$

Untuk mempermudah penyebutan perbandingan-perbandingan diatas para matematikawan beberapa abad yang lalu memberi nama untuk setiap perbandingan diatas. Sama sepertinya orang tua kita, memberi kita nama untuk mempermudah penyebutan kita dari anak-anak lainnya.

Adapun nama-nama perbandingan itu disebut dengan perbandingan trigonometri.

• $ \dfrac{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}{\text{sisi miring}}$ disebut $Sinus\ \alpha$
• $ \dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}$ disebut $Cosecan\ \alpha$
• $ \dfrac{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}{\text{sisi miring}}$ disebut $Cosinus\ \alpha$
• $ \dfrac{\text{sisi miring}}{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}$ disebut $Secan\ \alpha$
• $ \dfrac{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}$ disebut $Tangen\ \alpha$
• $ \dfrac{\text{sisi siku di samping sudut}\ \alpha}{\text{sisi siku di depan sudut}\ \alpha}$ disebut $Cotangen\ \alpha$

Perbandingan yang disebutkan diatas dan istilahnya adalah dasar dari pengembangan perbandingan trigonmetri. Untuk mempercepat dalam penulisan, istilah perbandingan trigonometri diatas juga dapat disingkat, secara umum perubahannya penulisannya adalah;

• $ Sinus\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Sin\ \alpha $'
• $ Cosinus\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Cos\ \alpha $'
• $ Tangen\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Tan\ \alpha $'
• $ Secan\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Sec\ \alpha $'
• $ Cosecan\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Cosec\ \alpha $'
• $ Cotangen\ \alpha $ sering ditulis hanya '$ Cotan\ \alpha $'

Sebagai contoh lain bisa kita gunakan segitiga ABC berikut,

jika panjang dari $AB=5\ cm$, dan $BC=12\ cm$ tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $ dan untuk sudut $ \alpha $?

Perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $

Alternatif Pembahasan: show

Perbandingan trigonometri untuk sudut $ \beta $
BC: Sisi siku di samping sudut $ \beta $
AB: Sisi siku di depan sudut $ \beta $
AC: Sisi miring

$AB=5$ dan $BC=12$ maka $AC=13$ yang dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras
$\begin{align}
sin\ \beta & =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
cos\ \beta & =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
tan\ \beta & =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12} \\
cosec\ \beta & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
sec\ \beta & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
cotan\ \beta & =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5}
\end{align}$

perbandingan trigonometri untuk sudut $ \alpha $

Alternatif Pembahasan: show

Perbandingan trigonometri untuk sudut $ \alpha $
BC: Sisi siku di depan sudut $ \alpha $
AB: Sisi siku di samping sudut $ \alpha $
AC: Sisi miring

$AB=5$ dan $BC=12$ maka $AC=13$ yang dihitung menggunakan teorema phytagoras
$\begin{align}
sin\ \alpha & =\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{12}{13} \\
cos\ \alpha & =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{13} \\
tan\ \alpha & =\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{5} \\
cosec\ \alpha & =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{13}{12} \\
sec\ \alpha & =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{13}{5} \\
cotan\ \alpha & =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{12}
\end{align}$

Bagaimana perbandingan trigonometri itu, apakah sudah menjadi lebih indah dari sebelumnya. Kalau belum coba dibaca lagi ceritanya dari awal, kalau ada yang perlu ditanya mari berdiskusi.

Contoh Proses Belajar Mengajar yang dianjurkan pada Kurikulum 2013, mungkin video berikut dapat membantu kita dalam penerapan kuriulum 2013;

Sumber https://www.defantri.com/

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi

Read More

Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi Dan Besar Satu Sudut

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.


Catatan calon guru kita saat ini, kita coba akan mendiskusikan Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi Dan Besar Satu Sudut. Rumus untuk menghitung luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan besar satu sudut diperoleh dari perluasan rumus luas segitiga $ \dfrac{1}{2}\times alas\times tinggi $ dan sedikit tambahan trigonometri.

Mari kita coba diskusikan, salah satu proses untuk sampai kepada rumus luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan sebuah besar sudutnya.
Rumusnya adalah $L= \dfrac{1}{2}\times a \times c\ sin\ B $ dimana $a$ dan $c$ panjang sisi dan $B$ adalah besar sudut yang diketahui.

Rumus luas segitiga ABC yang sudah kita kenal sejak SD (Sekolah Dasar) adalah $ \dfrac{1}{2}\times alas\times tinggi $,
sebagai ilustrasi kita gunakan segitiga berikut; dimana sisi panjang sisi $ BC=a$, $ AC=b$, $ AB=c$ dan CD adalah garis tinggi.

Dengan menggunakan rumus dasar luas segitiga;
$ L= \dfrac{1}{2}\times alas\times tinggi $
$ L= \dfrac{1}{2}\times AB \times CD $
$ L= \dfrac{1}{2}\times c \times CD $ ...pers[1]

Kita perhatikan segitiga $ ACD $ adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku perbandingan trigonometri
$ sin\ A=\dfrac{CD}{AC} $
$ sin\ A=\dfrac{CD}{b} $
$ CD=b\ sin\ A $...pers[2]

Dengan mensubstitusi $CD$ pada pers[2] ke pers[1] kita peroleh:
$ L= \dfrac{1}{2}\times c \times b\ sin\ A $
Inilah yang sering disebut dengan rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut dimana sisi yang diketahui adalah sisi yang membentuk sudut yang besarnya juga diketahui.

Dengan cara yang sama, jika kita tarik garis tinggi dari titik $B$ ke $AC$ dan dilakukan seperti proses diatas akan diperoleh persamaan $ L= \dfrac{1}{2}\times a \times c\ sin\ B $.

Sedangkan jika ditarik garis tinggi dari titik $A$ ke $BC$ lalu dilakukan kembali seperti proses diatas akan diperoleh persamaan $ L= \dfrac{1}{2}\times a \times b\ sin\ C $.

Secara ringkas dapat kita tuliskan luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan satu sudut adalah:

• $ L= \dfrac{1}{2} bc\ sin\ A $
• $ L= \dfrac{1}{2} ac\ sin\ B $
• $ L= \dfrac{1}{2} ab\ sin\ C $

Katanya belajar matematika itu tanpa contoh soal ibarat sayur tanpa garam, jadi berikut kita coba bahas beberapa contoh soal yang sudah di ujikan pada Ujian Nasional tahun lalu;

Soal UN Matematika IPA tahun 2012 (*Soal Lengkap)

Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam berauturan adalah 10 satuan, maka luas segienam tersebut adalah ... [satuan luas]
$(A)\ 150\\ (B)\ 150\sqrt{2}\\ (C)\ 150\sqrt{3}\\ (D)\ 300\\ (E)\ 300\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Dikatakan pada soal adalah lingkaran luar segienam beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut,

dengan panjang $OA=OB=10$ satuan, dan besar sudut $AOB$ adalah $60^{\circ}$ yang diperoleh dari $ \dfrac{360^{\circ}}{6}$

Segienam beraturan dibangun oleh 6 segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segienam beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segienam tersebut lalu kita kalikan dengan 6.

Mari kita hitung luas segienamnya;
$ L=\dfrac{1}{2}\times OA\times OB\times sin\ 60^{\circ} \times 6$
$ L=\dfrac{1}{2}\times 10\times 10\times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \times 6$
$ L=50 \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \times 6$
$ L=150\sqrt{3}$

Soal UN Matematika IPA tahun 2013 (*Soal Lengkap)

Diketahui jari-jari lingkaran luar segi-8 beraturan adalah $r$, Luas segi-8 yang dapat dibuat adalah...
$(A)\ \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{2}\\ (B)\ \dfrac{1}{2}r^{2}\sqrt{2}\\ (C)\ \dfrac{3}{4}r^{2}\sqrt{2}\\ (D)\ r^{2}\sqrt{2}\\ (E)\ 2r^{2}\sqrt{2}$

Alternatif Pembahasan: show

Dikatakan pada soal adalah lingkaran luar segi-8 beraturan, jika kita coba ilustrasikan soal diatas dengan gambar kira-kira gambarnya sebagai berikut,

dengan panjang $ OA=OB=r$, dan besar sudut $ AOB$ adalah $ 45^{\circ}$ yang diperoleh dari $\dfrac{360^{\circ}}{8}$

Segi-8 beraturan dibangun oleh 8 segitiga yang kongruen sehingga untuk menghitung luas segi-8 beraturan diatas dapat kita hitung dengan menghitung luas sebuah segitiga yang membangun segi-8 tersebut lalu kita kalikan dengan 8.

Mari kita hitung luas segi-8;
$ L=\dfrac{1}{2}\times OA\times OB\times sin\ 45^{\circ} \times 8$
$ L=\dfrac{1}{2}\times r \times r \times \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \times 8$
$ L=\dfrac{r^2}{4}\sqrt{2} \times 8$
$ L=\dfrac{r^2}{2}\sqrt{2}$
$ L= \dfrac{1}{2}r^2\sqrt{2}$

Jika ada kesalahan pada alternatif penyelesaian diatas silahkan dikomentari atau Anda punya alternatif penyelesaian dari apa yang sudah disampaikan diatas mari berbagi dan belajar.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 untuk perubahan yang lebih baik, ilustrasi berikut mungkin bisa mengajak kita untuk ikut berubah;

Sumber https://www.defantri.com/

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi

Read More

Trigonometri: Cara Sederhana Membuktikan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Jangan lupa membaca artikel tentang bisnis di > Informasi bisnis terbaik 2020.


Untuk anak-anak SMA yang masuk kelompok IPA, trigoometri adalah topik paling digemari, karena topik trigonometri selalu ikutan nimbrung pada setiap tingkatan kelas. Misalnya pada kelas X ada perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Di kelas XI ada rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan juga disinggung pada topik turunan yaitu turunan trigonometri. Sedangkan di kelas XII trigonometri ketemu ketika menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi trigonometri.

Sekarang yang kita diskusikan adalah trigonometri pada kelas XI yaitu rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut. Sebelum memasuki topik ini para siswa diharapkan sudah mengenal atau sudah memahami Trigonometri dasar pada kelas X.

Salah satu tujuan pembelajaran ini adalah para siswa dapat menghitung $ sin 75^{\circ} $, $ sin 15^{\circ} $, $ cos 75^{\circ} $ atau $ tan 15^{\circ} $

Trigonometri dasar yang sudah dikenal anak-anak, maka rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut dan selisih dua sudut sebenarnya bisa langsung digunakan. Karena rumus jumlah atau selisih dua sudut ini termasuk rumus yang sederhana, kita hanya menggantikan nilai-nilai yang ada pada rumus kepada nilai yang dinginkan.

Rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri adalah;

• $ sin\left ( A+B \right )=sinA \cdot cosB+sinB \cdot cosA $
• $ sin\left ( A-B \right )=sinA \cdot cosB-sinB \cdot cosA $
• $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $
• $ cos\left ( A-B \right )=cosA \cdot cosB+sinA \cdot sinA $
• $ tan\left ( A+B \right )=\dfrac{tanA+tanB}{1-tanA\cdot tanB} $
• $ tan\left ( A-B \right )=\dfrac{tanA-tanB}{1+tanA\cdot tanB} $

Setelah melihat bentuk rumus diatas dan permasalahan yang muncul, misalnya menghitung $ sin 75^{\circ} $ kita hanya perlu sedikit kreativitas mengubah masalah $ sin 75^{\circ} $ menjadi $ sin \left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) $ lalu kita tinggal memilih bentuk rumus yang bisa kita terapkan dari keenam bentuk yang diatas.

Salah satu bentuk yang cocok adalah:
$ sin\left ( A+B \right )=sinA \cdot cosB+sinB \cdot cosA $
$ sin 75^{\circ}=sin\left ( 45^{\circ}+30^{\circ} \right ) $
$ sin 75^{\circ}=sin45^{\circ} \cdot cos30^{\circ}+sin30^{\circ} \cdot cos45^{\circ} $
$ sin 75^{\circ}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} $
$ sin 75^{\circ}=\dfrac{1}{4}\sqrt{6} + \dfrac{1}{4}\sqrt{2} $

Dengan sedikit kreativitas kita juga bisa menggunakan rumus-rumus diatas untuk mendapatkan identitas trigonometri untuk sudut rangkap misalnya $ sin\left ( 2A \right )$, $ cos\left ( 2A \right )$ atau $ tan\left ( 2A \right )$.

Kita pilih untuk mendapatkan identitas trigometri $ cos\left ( 2A \right )$ yang cocok yaitu bentuk $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $
$ cos\left ( 2A \right )= cos\left ( A+A \right ) $
$ cos\left ( 2A \right )=cosA \cdot cosA-sinA \cdot sinA $
$ cos\left ( 2A \right )=cos^{2}A-sin^{2}A $
atau dengan bantuan $ sin^{2}A+cos^{2}A=1 $ kita peroleh bentuk yang lain yaitu
$ cos\left ( 2A \right )=1-2sin^{2}A $ atau
$ cos\left ( 2A \right )=2cos^{2}A-1 $.

Untuk siswa masalah kita buat lebih terbuka, misal dengan caramu sendiri coba buktikan rumus penjumlahan atau selisih sudut diatas.

Berikut pembuktian rumus penjumlahan atau selisih sudut hasil kreativitas Rinaldo Parluhutan Silaban dan Elstri Sihotang siswa kelas XI, dari dua orang berbeda tetapi idenya sama.

Dari sebuah segitiga ABC siku-siku di C, kita sebut pada titik A adalah sudut A dan pada titik B adalah sudut B, sisi AB adalah sisi c, sisi BC adalah sisi a dan sisi AC adalah sisi b.

Dengan menggunakan defenisi sinus dan cosinus kita peroleh;
$ sinA= \dfrac{a}{c} =cosB $
$ cosA= \dfrac{b}{c} =sinB $
Pada segitiga ABC berlaku;
$ A+B+C=180^{\circ} $
$ A+B=90^{\circ} $
$ sin(A+B)=Sin90^{\circ} $
$ sin(A+B)=1 $
$ sin(A+B)=sin^{2}A+cos^{2}A $
$ sin(A+B)=sin A\cdot sin A+cos A\cdot cos A $
$ sin(A+B)=sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A $ (terbukti)

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut diatas dan sedikit kreativitas kita bisa peroleh rumus untuk selisih dua sudut;
$ sin(A+\left (-B \right ))=sin A\cdot cos \left (-B \right )+sin\left (-B \right )\cdot cos A $
dengan menggunkan sifat sudut berelasi sewaktu kelas X kita peroleh $ sin\left ( -A \right )=-sin\left ( A \right ) $ dan $ cos\left ( -A \right )=cos\left ( A \right ) $
Sekarang kita peroleh;
$ sin\left (A-B \right )=sin A\cdot cos B-sin B\cdot cos A $ (terbukti)

Untuk $ cos\left ( A+B \right )=cosA \cdot cosB-sinA \cdot sinB $ yang kita tampilkan adalah hasil kreativitas Heryanto Simatupang, berikut hasilnya;
Pada segitiga ABC berlaku;
$ A+B+C=180^{\circ} $
$ A+B=90^{\circ} $
$ cos(A+B)=cos90^{\circ} $
$ cos(A+B)=0 $
$ cos(A+B)=\dfrac{ab}{c^{2}}-\dfrac{ab}{c^{2}} $
$ cos(A+B)=\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c} $
$ cos(A+B)=cos B\cdot cos A-sin A\cdot sin B $
$ cos(A+B)=cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B $ (terbukti)

Untuk selisih sudutnya dapat kita gunakan $ sin\left ( -A \right )=-sin\left ( A \right ) $ dan $ cos\left ( -A \right )=cos\left ( A \right ) $
$ cos(A+\left (-B \right )=cos A\cdot cos \left (-B \right )-sin A\cdot sin \left (-B \right ) $
$ cos(A-B)=cos A\cdot cos B+sin A\cdot sin B $

Untuk perbandingan trigonometri jumlah dan selisih sudut pada tangen, kita coba memakai identitas trigonometri yaitu $tan\ A=\dfrac{sin\ A}{cos\ A}$.

$tan\ (A+B)=\dfrac{sin\ (A+B)}{cos\ (A+B)}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A}{cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{sin A\cdot cos B+sinB\cdot cos A}{cos A\cdot cos B-sin A\cdot sin B} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{cos A\cdot cos B}}{\dfrac{1}{cos A\cdot cos B}} $
$tan\ (A+B)=\dfrac{\dfrac{sin A\cdot cos B}{cos A \cdot cos B}+\dfrac{sinB\cdot cos A}{cos A \cdot cos B}}{\dfrac{cos A\cdot cos B}{cos A \cdot cos B}-\dfrac{sin A\cdot sin B}{cos A \cdot cos B}} $
$tan\ (A+B)=\dfrac{\dfrac{sin A}{cos A}+\dfrac{sinB}{cos B}}{1-\dfrac{sin A}{cos A} \cdot \dfrac{sin B}{cos B}}$
$tan\ (A+B)=\dfrac{tanA+tanB}{1-tan A \cdot tanB}$

Dengan cara yang hampir sama, kita bisa mendapatkan:
$tan\ (A-B)=\dfrac{tanA-tanB}{1+tan A \cdot tanB}$

Anda punya cara yang berbeda, mari berbagi😊 dan belajar😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara nakal;

Sumber https://www.defantri.com/

Selain sebagai media informasi pendidikan, kami juga berbagi artikel terkait bisnis.

Artikel bisnis dan investasi

Read More